【文末送书】漫画：寻找无序数组的第k大元素-

沙海

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2021年6月17日04:50:22Java评论33字数 3189阅读10分37秒阅读模式

摘要

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这是最容易想到的方法，先把无序数组从大到小进行排序，排序后的第k个元素，自然就是数组中的第k大元素。如果大于数组A的最小元素，则插入到数组A中，并把曾经的最小元素"挤出去"。遍历到元素20，由于20>3，20取代堆顶位置，并调整堆。遍历到元素24，由于24>5，24取代堆顶位置，并调整堆。我们在寻找第k大元素的时候，也可以利用这个思路，以某个元素A为基准，把大于于A的元素都交换到数组左边，小于A的元素都交换到数组右边。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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【文末送书】漫画：寻找无序数组的第k大元素

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文末送书【漫画算法2】哟，有兴趣的小伙伴可以参加一波~文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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题目是什么意思呢？比如给定的无序数组如下：文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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如果 k=6，也就是要寻找第6大的元素，这个元素是哪一个呢？文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

显然，数组中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ...... 第6大的元素是9。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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方法一：排序法文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

这是最容易想到的方法，先把无序数组从大到小进行排序，排序后的第k个元素，自然就是数组中的第k大元素。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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方法二：插入法文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

维护一个长度为k的数组A的有序数组，用于存储已知的k个较大的元素。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

接下来遍历原数组，每遍历到一个元素，和数组A中最小的元素相比较，如果小于等于数组A的最小元素，继续遍历；如果大于数组A的最小元素，则插入到数组A中，并把曾经的最小元素“挤出去”。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

比如k=3，先把最左侧的7,5,15三个数有序放入数组A当中，代表当前最大的三个数。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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这时候，遍历到3，由于3<5，继续遍历。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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接下来遍历到17，由于17>5，插入到数组A的合适位置，类似于插入排序，并把原先最小的元素5“挤出去”。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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继续遍历原数组，一直遍历到数组的最后一个元素......文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

最终，数组A中存储的元素是24,20,17，代表着整个数组中最大的3个元素。此时数组A中的最小的元素17就是我们要寻找的第k大元素。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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什么是二叉堆？不太了解的小伙伴可以先看看这一篇：漫画：什么是二叉堆？（修正版）文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

简而言之，二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它包含大顶堆和小顶堆两种形式。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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其中小顶堆的特点，是每一个父节点都大于等于自己的子节点。要解决这个算法题，我们可以利用小顶堆的特性。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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方法三：小顶堆法文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

维护一个容量为k的小顶堆，堆中的k个节点代表着当前最大的k个元素，而堆顶显然是这k个元素中的最小值。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

遍历原数组，每遍历一个元素，就和堆顶比较，如果当前元素小于等于堆顶，则继续遍历；如果元素大于堆顶，则把当前元素放在堆顶位置，并调整二叉堆（下沉操作）。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

遍历结束后，堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值，也就是第k大元素。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

假设k=5，具体的执行步骤如下：文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

1.把数组的前k个元素构建成堆。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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2.继续遍历数组，和堆顶比较，如果小于等于堆顶，则继续遍历；如果大于堆顶，则取代堆顶元素并调整堆。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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遍历到元素2，由于 2<3，所以继续遍历。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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遍历到元素20，由于 20>3，20取代堆顶位置，并调整堆。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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遍历到元素24，由于 24>5，24取代堆顶位置，并调整堆。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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以此类推，我们一个一个遍历元素，当遍历到最后一个元素8的时候，小顶堆的情况如下：文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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3.此时的堆顶，就是堆中的最小值，也就是数组中的第k大元素。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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这个方法的时间复杂度是多少呢？文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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1.构建堆的时间复杂度是 O（k）文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

2.遍历剩余数组的时间复杂度是O（n-k）文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

3.每次调整堆的时间复杂度是 O（logk）文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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其中2和3是嵌套关系，1和2,3是并列关系，所以总的最坏时间复杂度是O（（n-k）logk + k）。当k远小于n的情况下，也可以近似地认为是O（nlogk）。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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这个方法的空间复杂度是多少呢？文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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刚才我们在详细步骤中把二叉堆单独拿出来演示，是为了便于理解。但如果允许改变原数组的话，我们可以把数组的前k个元素“原地交换”来构建成二叉堆，这样就免去了开辟额外的存储空间。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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因此，方法的空间复杂度是O（1）。文章源自JAVA秀-https://www.javaxiu.com/33192.html

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/** * 寻找第k大的元素 * @param array  待调整的堆 * @param k  第几大 */publicstaticint findNumberK(int[] array,int k){    //1.用前k个元素构建小顶堆    buildHeap(array, k);    //2.继续遍历数组，和堆顶比较    for(int i=k; i<array.length;i++){        if(array[i]> array[0]){            array[0]= array[i];            downAdjust(array,0, k);        }    }    //3.返回堆顶元素    return array[0];}/** * 构建堆 * @param array  待调整的堆 * @param length  堆的有效大小 */privatestaticvoid buildHeap(int[] array,int length){    // 从最后一个非叶子节点开始，依次下沉调整    for(int i =(length-2)/2; i >=0; i--){        downAdjust(array, i, length);    }}/** * 下沉调整 * @param array     待调整的堆 * @param index    要下沉的节点 * @param length    堆的有效大小 */privatestaticvoid downAdjust(int[] array,int index,int length){    // temp保存父节点值，用于最后的赋值    int temp = array[index];    int childIndex =2* index +1;    while(childIndex < length){        // 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子        if(childIndex +1< length && array[childIndex +1]< array[childIndex]){            childIndex++;        }        // 如果父节点小于任何一个孩子的值，直接跳出        if(temp <= array[childIndex])            break;        //无需真正交换，单向赋值即可        array[index]= array[childIndex];        index = childIndex;        childIndex =2* childIndex +1;    }    array[index]= temp;}publicstaticvoid main(String[] args){    int[] array =newint[]{7,5,15,3,17,2,20,24,1,9,12,8};    System.out.println(findNumberK(array,5));}